【圆心到切线的距离公式。】在几何学中，圆与直线的关系是研究的重点之一。当一条直线与一个圆相切时，这条直线被称为圆的切线。而圆心到这条切线的距离具有重要的几何意义和计算价值。本文将总结圆心到切线的距离公式，并通过表格形式直观展示相关概念和计算方法。

一、基本概念

- 圆：由所有到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点组成的图形。

- 切线：与圆只有一个公共点的直线，称为圆的切线。

- 圆心到切线的距离：从圆心出发，垂直于切线的线段长度，即为圆心到切线的距离。

二、圆心到切线的距离公式

设圆的标准方程为：

$$

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$$

其中，$(a, b)$ 是圆心坐标，$r$ 是圆的半径。

若有一条直线 $Ax + By + C = 0$ 与该圆相切，则圆心 $(a, b)$ 到这条直线的距离 $d$ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

由于该直线是圆的切线，因此这个距离 $d$ 应该等于圆的半径 $r$，即：

$$

\frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r

$$

三、关键结论

1. 圆心到切线的距离等于圆的半径。

2. 当已知圆的方程和切线方程时，可以通过上述公式验证是否为切线。

3. 公式适用于所有形式的直线方程，只要将其转化为标准形式 $Ax + By + C = 0$ 即可。

四、总结表格

五、应用示例

假设有一个圆，其方程为 $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5$，圆心为 $(2, 3)$，半径为 $\sqrt{5}$。

若有一条直线 $x + y - 5 = 0$，则圆心到该直线的距离为：

$$

d = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 5}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0

$$

显然，这说明直线经过圆心，不是切线。如果结果为 $\sqrt{5}$，则说明该直线是圆的切线。

六、结语

掌握“圆心到切线的距离公式”有助于深入理解圆与直线之间的几何关系，尤其在解析几何和实际问题中有着广泛的应用。通过公式与实例结合，可以更清晰地理解和运用这一知识点。