【什么是可导】在数学中，“可导”是一个非常重要的概念，尤其在微积分中占据核心地位。简单来说，函数在某一点可导，意味着该点处的函数图像存在一条唯一的切线，且这个切线的斜率可以被计算出来。换句话说，函数在该点的变化率是确定的。

为了更清晰地理解“可导”，我们可以从定义、条件、与连续的关系以及常见函数的可导性等方面进行总结。

一、定义

一个函数 $ f(x) $ 在某一点 $ x_0 $ 处可导，是指极限

$$

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$$

存在。这个极限称为函数在该点的导数，记作 $ f'(x_0) $ 或 $ \frac{df}{dx}\big_{x=x_0} $。

二、可导的条件

函数在某一点可导，必须满足以下两个条件：

1. 函数在该点连续：如果函数在某点不连续，则一定不可导。

2. 左右导数相等：函数在该点的左导数和右导数必须相等，即：

$$

\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$$

三、可导与连续的关系

- 如果函数在某点可导，则它在该点一定连续；

- 但若函数在某点连续，并不一定可导。

例如，函数 $ f(x) = x $ 在 $ x = 0 $ 处连续，但由于左右导数不相等（左导数为 -1，右导数为 1），因此在该点不可导。

四、常见函数的可导性总结

五、总结

“可导”是函数在某一点具有确定变化率的体现，其本质是函数图像在该点存在唯一的切线。判断一个函数是否可导，需要同时满足连续性和左右导数相等两个条件。虽然可导性比连续性更强，但并不是所有连续函数都可导。

通过以上内容，我们对“可导”的基本概念、条件及其与连续性的关系有了更深入的理解。