【数学穿根法】一、概述

“数学穿根法”是解不等式的一种重要方法，尤其在处理高次不等式或分式不等式时具有高效性和直观性。该方法的核心在于将不等式的根标在数轴上，并根据这些根将数轴分成若干区间，再通过测试每个区间的符号来判断不等式的解集。

二、适用范围

- 高次多项式不等式（如 $ x^3 - 2x^2 + x > 0 $）

- 分式不等式（如 $ \frac{x - 1}{x + 2} < 0 $）

- 含有绝对值的不等式（如 $ x^2 - 4 > 0 $）

三、操作步骤

四、注意事项

- 当根为重根时，需注意符号是否改变。

- 对于分式不等式，分母不能为零，因此必须排除这些点。

- 若不等式包含等于号（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），则需要包括对应的根点。

五、示例解析

例题： 解不等式 $ (x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0 $

步骤：

1. 根为：$ x = 1, -2, 3 $

2. 数轴上标出三个点，分为四个区间：$ (-\infty, -2) $, $ (-2, 1) $, $ (1, 3) $, $ (3, +\infty) $

3. 测试点分别为：$ x = -3, 0, 2, 4 $

4. 代入计算符号：

- $ x = -3 $：负

- $ x = 0 $：正

- $ x = 2 $：负

- $ x = 4 $：正

5. 结合不等式 $ > 0 $，取正区间：$ (-2, 1) $ 和 $ (3, +\infty) $

六、总结

七、结语

穿根法是一种简洁高效的解不等式方法，掌握其基本原理和操作步骤，有助于提升解题效率与准确性。建议多做练习，熟练掌握不同类型的不等式应用。