【数学求导公式】在数学中，求导是微积分的重要组成部分，用于研究函数的变化率和斜率。掌握基本的求导公式对于学习高等数学、物理、工程等学科具有重要意义。本文将总结常见的数学求导公式，并以表格形式进行清晰展示，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
1. 常数函数
若 $ f(x) = c $（c为常数），则：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $（n为实数），则：
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则：
$$
f'(x) = a^x \cdot \ln a
$$
特别地，若 $ f(x) = e^x $，则：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}
$$
特别地，若 $ f(x) = \ln x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，则：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，则：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，则：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，则：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，则：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ | 两个函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ (f - g)' = f' - g' $ | 两个函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数为第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数 |
| 商法法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母的平方 |
三、复合函数的求导法则（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
四、常见函数导数表（简要总结）
| 函数表达式 | 导数 |
| $ c $ | 0 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
五、小结
掌握这些基本的求导公式和运算法则是学习微积分的基础。通过不断练习和应用，可以更熟练地解决实际问题。建议在学习过程中结合图形理解导数的意义，同时注意公式的适用范围与条件，避免误用。
希望本文能帮助你更好地理解和掌握数学中的求导知识。
