sin3x 的原函数是负三分之一 cos3x 加上常数 C，原函数也就是不定积分，核心思路是换元积分法，因为 sin3x 属于复合三角函数，不能直接套用 sinx 的积分公式，sinx 积分是负 cosx，但是内层是 3x，求积分的时候要补上内层系数的倒数，很多同学最容易漏掉三分之一这个系数，直接写成负 cos3x，这个是高频错误，原函数的定义就是如果 F 撇 x 等于 sin3x，那么 Fx 就是 sin3x 的原函数，所有原函数之间只差一个常数，所以必须加上任意常数 C，这个题型是高等数学不定积分基础必考内容，和 sin2x 原函数属于同类型，掌握换元思路之后，sin kx 这类题型都可以套用相同逻辑，下面把推导步骤 验证方法 拓展要点完整展开。

基础参数对照表

凑微分求解步骤

第一步 回忆基础积分公式，积分 sin u du 等于负 cos u 加 C

第二步 设中间变量 u 等于 3x，那么 du 等于 3dx，也就是 dx 等于三分之一 du

第三步 把原式积分 sin3x dx 替换成积分 sin u 乘以三分之一 du

第四步 把常数三分之一提到积分外面，得到三分之一乘以积分 sin u du

第五步 套用基础积分公式，三分之一乘以括号负 cos u 括号加 C

第六步 把 u 换回 3x，最终得到负三分之一 cos3x 加 C

导数验证步骤

第一步 对求得原函数 Fx 等于负三分之一 cos3x 加 C 求导

第二步 使用复合函数链式求导，cos3x 导数是负 3sin3x

第三步 F 撇 x 等于负三分之一乘以括号负 3sin3x 括号加 0

第四步 化简之后得到 sin3x，和被积函数一致，证明 sin3x 的原函数正确

拓展知识点

通用规律，积分 sin kx dx 等于负 k 分之一 cos kx 加 C，这里 k 是不等于 0 的常数，sin3x 里面 k 等于 3，所以系数是负三分之一

如果是定积分求 sin3x，上下限确定之后，常数 C 会抵消，只需要代入上下限计算差值

注意区分原函数和导数，sin3x 导数是 3cos3x，而 sin3x 原函数是负三分之一 cos3x 加 C，两者系数位置刚好相反，不要混淆

如果题目改成 cos3x 原函数，结果是三分之一 sin3x 加 C，可以对比记忆

【常见问题】

问题 1 sin3x 的原函数为什么要加常数 C

回答 1 原函数是全部满足导数等于 sin3x 的函数族，不同原函数之间只相差常数，所以 sin3x 的原函数必须加上任意常数 C，不定积分求 sin3x 原函数不能省略 C

问题 2 sin3x 的原函数能不能直接写成负 cos3x

回答 1 不可以，sin3x 是复合函数，凑微分的时候 dx 等于三分之一 du，sin3x 的原函数需要乘以三分之一，直接写负 cos3x 求导之后是负 3sin3x，并不是 sin3x，属于错误结果

问题 3 sin3x 的原函数和 sin2x 的原函数思路一样吗

回答 1 思路完全一致，都是第一类换元凑微分，sin2x 原函数是负二分之一 cos2x 加 C，sin3x 的原函数是负三分之一 cos3x 加 C，通用公式就是负 k 分之一 coskx 加 C

问题 4 对 sin3x 的原函数求导可以验证结果吗

回答 1 可以，对 sin3x 的原函数负三分之一 cos3x 加 C 求导，利用链式法则求导之后得到 sin3x，和被积函数相同，说明 sin3x 的原函数计算正确

【免责申明】

本文为不定积分科普讲解，积分公式与换元法以现行高等数学教材标准为准，做题注意复合函数系数，定积分计算要区分上下限，不要漏掉常数 C。